4. Ángulos
En astronomía, pensar y trabajar con modelos circulares o esféricos es muy común. Una esfera celeste, por ejemplo, o una estrella, o un planeta. Esto hace que sea muy común pensar a todo momento en términos de ángulos. Además, muchos de los modelos de cálculo de distancias, o el manejo mismo de ondas electromagnéticas, se modela con funciones angulares. Se hace ideal revisar algunos conceptos prácticos alrededor de este tema.
En geometría Euclideana, un ángulo es una figura formada por dos semi-líneas que se interceptan en un punto llamado vértice. La apertura del vértice forma lo que se conoce como ángulo, el cual puede ser medido con una unidad llamada es de grados, cada grado divisible en minutos y cada minuto divisible en segundos. Cualquier división de los segundos se maneja como fracción de segundo.
Cuando estos ángulos hacen alusión a una fracción de un círculo o segmento de circunferencia, decimos que se está midiendo un arco.
Una circunferencia completa puede entonces ser vista como el arco más grande posible. Y su medíada sería un ángulo de 360 grados, lo cual se escribe como 360°.
Existen varias formas para medir los grados de un arco. Los grados sexahesimales, los grados centesimales
Grados Centesimales.
La primera y la menos usual son los grados centecimales. El grado centesimal se llama gradian. Un ángulo recto equivale en este esquema a 100 gradianes, por lo que una circunferencia medirá así 400 gradianes. Se quería con este modelo estandarizar las medidas de grado y tiempo a un manejo bajo el sistema métrico. Su uso se da en algunos ámbitos de ingeniería, particularmente el instrumental. Las calculadoras científicas utilizadas el siglo pasado, usaban dentro de su sistema de conversión el sistema centesimal, el cual etiquetan como el modo grad (gradián), lo que por supuesto ha generado confusiones, particularmente a los estudiantes de países de habla hispana. Esta confusión y el hecho que la unidad no fuera realmente adoptada dentro de los estándares internacionales, hizo que muchas calculadoras comerciales empezaran a retirar esta unidad. Sin embargo, las calculadoras científicas en general la siguen conservando.
Grados Sexagecimales.
En este esquema de trabajo, un cuadrante mide 90 grados, de modo que una circunferencia mide en total 360 grados. El uso del número 90 para los cálculos mentales siempre ha sido más adecuado que el uso de 100, y esta es una de las hipótesis de porqué desde hace mucho tiempo se usan los cuadrantes de 90 grados y no de 100. Note que para expresar 90, lo puede hacer como 2×45, 3×30, 5×18, 6×15, 10×9, 9×10, 15×6, 18×5, 30×3, 45×2, o sea de 10 maneras; en cambio, para expresar 100, lo puedo hacer como 2×50, 4×25, 5×20, 10×10, 20×5, 25×4, 50×2, sólo de 7 maneras, lo que disminuía la posibilidad de las operaciones mentales que los antiguos hacían.
Hoy se dice que matemáticamente 360 es un número compuesto altamente superior que cumple con ciertas propiedades que tienen que ver con lo expuesto en la hipótesis anterior, por lo que en general es más adecuado para los cálculos relacionados con el manejo de grados en arcos. Los primeros 10 números compuestos altamente superiores son 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440 y 720720.
Los grados sexagecimales usan el número 360 como el total de grados en una circunferencia, lo que nos deja 4 cuadrantes de 90 grados, cada grado dividido en 60 minutos, cada minuto en 60 segundos, siendo 60 otro número altamente compositivo, más compositivo que el número 90 que no está en la lista.
Lo anteior nos deja una circunferencia de 360 grados, o 21,600 arcmin (minutos de arco), o 1,296,000 arcsec (segundos de arco).
el grado sexagecimal se llama grado, y se conoce en las calculadoras como modo deg (degree).
Nota sobre la escritura de los grados. Para escribir grados, minutos y segundos podemos utilizar tres símbolos que simplifican la escritura y son respestivamente °, ‘ y ”. Eso significa que un valor como 14 grados, 23 minutos y 19 segundos se puede escribir como 18° 23′ 19”.
Radianes.
Rodee una tapa circular de un tarro de galletas con un hilo, recorte el hilo de la forma más exacta posible, de modo que el hilo resultante sea la medida de la circunferencia de la tapa. Use el hilo para determinar qué fracción es la medida del díametro de la tapa. Doble el hilo tantas veces como sea posible usando el tamaño del diámetro de la tapa. Sin impotar el tamaño de la circunferencia usada, el tamaño siempre es el mismo: 3 veces mas un excedente. De hecho el valor exacto es la famosa constante trascendental π, que equivale aproximadamente a 3.14159265358979323846 para sólo citar las 20 primeras cifras decimales. El valor de π se conoce bastante bien, al menos hasta la cifra decimal en la posición 1,241,100,000,000, resultado conocido desde diciembre 7 de 2002.
El famoso y bien amado número PI.
La letra griega π, que se lee pi, fue adoptada como nombre del valor de la constante desde la palabra griega “περίμετρος” (perímetro), aparentemente por el matemático celta William Jones3 en 1706, y polularizada por Leonhard Euler. Si valor ya se conocía desde la antigüedad hace 1,900 años antes de la era cristiana y era estimada como 25/8 = 3.125 por los babilonios y como 256/81 = 3.16 por los egipcios.
El primer estimativo riguroso de π, fue hecho por el matemático, físico, astrónomo e inventor Arquímides de Syracuse (287AC – 212 AC )4, que encontró que el valor de π estaba en el rango 3+10/71 ( aproximadamente 3.1408 ) y 3+1/7 ( aproximadamente 3.1429).
la letra π siempre ha sido amada y considerada un símbolo muy especial.
La circunferencia y π.
Según lo analizado anteriormente, el valor de una circunferencia equivale a π veces el diámetro de la misma, de donde escribimos
circunferencia = π x diámetro
La circunferencia, como ya sabemos, podemos expresarla como una medida de 360 grados de arco, por lo que
360° = π x diámetro.
Pero es más usual trabajar con el radio, por lo que la equivalencia es mejor hacerla como
360° = 2 x π x radio
el radio así se nos convierte en una forma de medir arcos, y a esa medida es a la que llamamos radián. Entonces un radián es el arco subtendido por la longitud del radio.
360° = 2 x π x radianes
Dicho esto, si deseo saber cuantos grados tiene un radian:
Si 360° grados = 2 x π x radianes
entonces:
1 radian = 360° / 2π = 180° / π
Y en el otro sentido, si queremos saber cuantos radianes mide un grado, tenemos:
1° = π / 180° radianes
Seún lo anterior, si deseamos convertir 270° a radianes, simplemente llevamos a cabo una regla de 3:
1° - π / 180° radianes
270° - X radianes
Despejando, tenemos:
270° x ( π / 180° ) radianes ≈ 4.71 radianes
y si deseamos convertir 320° a radianes, tenemos:
320° x π / 180° radianes ≈ 5.59 radianes
Las calculadoras soportan el manejo de radianes y lo etiquetan como el modo rad.
El uso de los radianes en astronomía.
Pero que utilidad puede tener esto? siempre piense en el significado de un radian; recuerde que un radian es un arco cuyo tamaño en longitud corresponde a un radio. En el caso anterior, 320° equivalen a 5.59 radianes, o mejor dicho, 5.59 radios se “empacan” en 320°. Eso es bueno, porque podemos hallar la equivalencia de un arco en función del tamaño del radio.
¿ Y cuántos grados puedo empacar en un radio(radian) ?
Para convertir radianes a grados, multiplicamos por 180 y dividimos por π .
(1 radian x 180°) π ≈ 57.29577°
Puedo empacar 57.29577° en un radio. Pero como un grado tiene 60 minutos, sólo necesitamos multiplicar por 60 para saber cuantos minutos podemos empacar en un radio, lo que me da un valor de
57.29577° x 60 ≈ 3,437.75′ en un radio
Y necesitamos multiplicar por 3,600 para saber cuantos segundos podemos empacar en un radio:
57.29577° x 3,600 ≈ 206,264.8” en un radio
Lo interesante de estos resultados, es que podemos usar el minuto de arco o el segundo de arco para hacer cálculos con base en proporciones.
Debido a que un radio equivale siempre a 3,437.75′ de arco y a 206,264.81” de arco, puedo usar estas constantes para determinar el tamaño real de un arco conocido el tamaño real del radio, o puedo conocer el tamaño real de un radio conocido el verdadero tamaño de un arco, siempre bajo las mismas unidades de longitud. Es un simple trabajo de proporciones.
Suponga ahora que hay una moneda en el piso. Una persona a un metro de distancia la ve, y otra persona a 5 metros también la ve. Se sabe que es la misma moneda, y sin embargo ambas personas la ven de tamaño diferente, pues la que está más lejos la ve más pequeña. 
Ahora bien. Si esos tamaños se miden en proporción al ángulo que forman (el que está más lejos ve la moneda más pequeña), y conocemos las distancias y su respectivo ángulo de visión, podremos derivar el diámetro real. O si conocemos el diámetro real y el ángulo, sabremos la distancia. A este ángulo lo llamaremos diámetro aparente. Otro ejemplo: Un bus está a 1 km de distancia de una persona y a 2 km de distancia de otra. La que está más lejos ve el bus más pequeño. Le decimos a las personas que nos digan con qué ángulo ven el bus, y con esta información es suficiente para saber a larga distancia de qué tamaño es el Bus.
También se podría determinar el diámetro aparente de un objeto conocidos un diámetro real del objeto y una distancia al objeto.
Ejemplo: Si la Luna tiene un diámetro real de 3,474 km, y visto desde la tierra tiene un diámetro aparente entre 31 arcmin, a que distancia está de la tierra?
Solución: El diámetro aparente es de 31 arcmin y el diámetro real es de 3,474 km. Dividiendo el diámetro real sobre el diámetro aparente, tenemos dos posibles valores:
3474 km / 31′ ≈ 112 km
112 km es la verdadera medida de 1 minuto de arco.
Como 1 minuto de arco cabe 3,437.75 veces en el radio de la circunferencia, simplemente multiplicamos y listo!
112 km x 3,437.75 ≈ 385,028 km
Las medidas hablan de 384,400 km, de modo que nuestro método es bastante bueno.
Resumiendo, podemos dividir el diámetro real sobre el diámetro aparente y luego multiplicamos por una constante: 3,437.75 para el caso de medidas en minutos de arco y 206,264.81” para el caso de medidas en segundos de arco.
Ejemplo: El 6 de enero de 2008, el planeta Marte fue observado con un diámetro aparente de 15”. Su radio real es de 6,792.2 km. A que distancia se encontraba Marte de la Tierra en ese momento? Solución: Como el diámetro aparente está en arcsec, trabajamos con la equivalencia de 1 radian igual a 206,264.81”, de modo que:
( 6,792.2 km / 15 arcsec) x 206,264.81” ≈ 93,399,456.2 km
Para comprobarlo, deberemos ir a alguna fuente confiable. Se usó Cartes Du Ciel7 para el cálculo y se obtuvo un valor de 93,902,664 km; no está nada mal para un cálculo basado en proporciones y apariencias.
Tenga en cuenta también que la refracción de la luz que ingresa a la atmósfera va a afectar sus cálculos, de modo que use esta técnica sólo para hacer aproximaciones moderadas.
Comentarios»
No comments yet — be the first.